Συνεταιριστική εναντίον μεταβαλλόμενης

Στις καθημερινές ζωές μας, πρέπει να χρησιμοποιούμε αριθμούς όποτε πρέπει να πάρουμε κάτι. Στο παντοπωλείο, στο βενζινάδικο, ακόμα και στην κουζίνα, πρέπει να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε δύο ή περισσότερες ποσότητες. Από την πρακτική μας, εκτελούμε αυτούς τους υπολογισμούς αρκετά αβίαστα. Ποτέ δεν παρατηρούμε ούτε αμφισβητούμε γιατί κάνουμε αυτές τις πράξεις με τον συγκεκριμένο τρόπο. Ή γιατί αυτοί οι υπολογισμοί δεν μπορούν να γίνουν με διαφορετικό τρόπο. Η απάντηση είναι κρυμμένη με τον τρόπο που ορίζονται αυτές οι λειτουργίες στο μαθηματικό πεδίο της άλγεβρας.

Στην άλγεβρα, μια ενέργεια που περιλαμβάνει δύο ποσότητες (όπως η προσθήκη) ορίζεται ως μια δυαδική λειτουργία. Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για μια λειτουργία μεταξύ δύο στοιχείων ενός συνόλου και αυτά τα στοιχεία ονομάζονται «operand». Πολλές πράξεις στα μαθηματικά συμπεριλαμβανομένων των αριθμητικών πράξεων που αναφέρθηκαν προηγουμένως και εκείνων που συναντώνται στη θεωρία των συνόλων, η γραμμική άλγεβρα και η μαθηματική λογική μπορούν να οριστούν ως δυαδικές πράξεις.

Υπάρχει ένα σύνολο κανόνων που διέπουν μια συγκεκριμένη δυαδική λειτουργία. Οι συνεταιριστικές και οι μεταβλητές ιδιότητες είναι δύο θεμελιώδεις ιδιότητες των δυαδικών λειτουργιών.

Περισσότερα για την Commutative Property

Ας υποθέσουμε ότι κάποια δυαδική λειτουργία, η οποία υποδηλώνεται με το σύμβολο ⊗, εκτελείται στα στοιχεία Α και Β. Αν η σειρά των τελεστών δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της λειτουργίας, τότε η λειτουργία λέγεται ότι είναι μεταλλακτική. δηλαδή αν A ⊗ B = B ⊗ A τότε η λειτουργία είναι μεταλλακτική.

Οι προσθήκες και ο πολλαπλασιασμός των αριθμητικών λειτουργιών είναι μεταβλητές. Η σειρά των αριθμών που προστίθενται ή πολλαπλασιάζονται μαζί δεν επηρεάζει την τελική απάντηση:

Α + Β = Β + Α ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

Α × Β = Β × Α ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Αλλά στην περίπτωση αλλαγής διαίρεσης στη σειρά δίνει την αμοιβαιότητα του άλλου, και με την αφαίρεση η αλλαγή δίνει το αρνητικό του άλλου. Επομένως,

Α - Β ≠ Β - Α ⇒ 4 - 5 = -1 και 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 και 5 ÷ 4 = 1.25 [στην περίπτωση αυτή A, B ≠ 1 και 0]

Στην πραγματικότητα, η αφαίρεση λέγεται ότι είναι αντικαταστατική. όπου Α - Β = - (Β - Α).

Επίσης, οι λογικοί συνδετικοί σύνδεσμοι, ο συνδυασμός, η αποσύνδεση, η εμπλοκή και η ισοδυναμία είναι επίσης μεταλλαξιογόνοι. Οι λειτουργίες αλήθειας είναι επίσης μεταβλητές. Η συνένωση των λειτουργιών και η διασταύρωση είναι συναναλλακτικά. Η προσθήκη και το κλιμακωτό προϊόν των διανυσμάτων είναι επίσης μεταβλητές.

Αλλά η αφαίρεση του φορέα και το προϊόν φορέα δεν είναι μεταλλασσόμενο (προϊόν φορέα δύο φορέων είναι αντι-μεταλλαξιογόνο). Η προσθήκη μήτρας είναι μεταβλητή, αλλά ο πολλαπλασιασμός και η αφαίρεση δεν είναι μεταβλητές. (Ο πολλαπλασιασμός των δύο πινάκων μπορεί να είναι μεταλλαγμένος σε ειδικές περιπτώσεις, όπως ο πολλαπλασιασμός μιας μήτρας με τον αντίστροφο ή τον πίνακα ταυτότητας, αλλά σίγουρα οι μήτρες δεν είναι μεταβλητές εάν οι μήτρες δεν έχουν το ίδιο μέγεθος)

Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη Συνεργατική Ιδιοκτησία

Μια δυαδική λειτουργία λέγεται ότι είναι συσχετιστική εάν η σειρά εκτέλεσης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα όταν υπάρχουν δύο ή περισσότερες εμφανίσεις του χειριστή. Εξετάστε τα στοιχεία A, B και C και τη δυαδική λειτουργία ⊗. Η λειτουργία ⊗ λέγεται ότι είναι συνεταιριστική εάν

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C

Από τις βασικές αριθμητικές συναρτήσεις, μόνο η προσθήκη και ο πολλαπλασιασμός είναι συνεταιριστικοί.

Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Η αφαίρεση και ο διαχωρισμός δεν είναι συνεταιριστικές.

A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 και (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 και (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Οι λογικές συζυγικές αποσύνδεση, συνένωση και ισοδυναμία είναι συνεταιριστικές, όπως και η συνένωση των λειτουργιών και η τομή. Η προσθήκη μήτρας και φορέα είναι συνθετική. Το κλιμακωτό προϊόν των φορέων είναι συνεταιριστικό, αλλά το προϊόν φορέα δεν είναι. Ο πολλαπλασιασμός της μήτρας είναι συνεταιριστικός μόνο υπό ειδικές συνθήκες.

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στην Commutative και Associative Property;

• Τόσο η συνειρμική ιδιότητα όσο και η μεταβλητή ιδιότητα είναι ειδικές ιδιότητες των δυαδικών λειτουργιών, και ορισμένοι τους ικανοποιούν και μερικοί δεν το κάνουν.

• Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να παρατηρηθούν σε πολλές μορφές αλγεβρικών λειτουργιών και άλλων δυαδικών λειτουργιών στα μαθηματικά, όπως η τομή και η ένωση στην θεωρία των συνόλων ή οι λογικές συνδέσεις.

• Η διαφορά μεταξύ commutative και associative είναι ότι η μεταβλητή ιδιότητα δηλώνει ότι η σειρά των στοιχείων δεν αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα ενώ οι συνειρμικές ιδιότητες της κατάστασης, ότι η σειρά με την οποία εκτελείται η πράξη, δεν επηρεάζει την τελική απάντηση.